All’interno di questo articolo andremo a definire la distribuzione di una variabile qualitativa, ordinale o nominale che sia, al fine di analizzarla numericamente, tramite tabelle di contingenza, e riuscire a costruirne grafici a barre esplicativi. Utilizzeremo per guidarci nella comprensione un esempio sviluppato in R senza riportarne i codici, che verranno visti al termine del capitolo delle variabili qualitative.
Se ti sei perso l’introduzione alle variabili qualitative la puoi trovare qui!
Prendiamo in considerazione la variabile qualitativa “cyl” (dal dataset “mtcars” di R) e osserviamo cosa essa contenga:
Abbiamo una serie di valori che identificano il numero di cilindri presenti nel motore di ciascuna auto. Si osservano tre valori base (4, 6, 8) corrispondenti alle possibili modalità di tale variabile qualitativa. In sostanza la variabile “cyl” possiamo vederla come una funzione che associa ad ogni elemento della popolazione \(\omega\) (una macchina) il suo rispettivo numero di cilindri: $$ \text{cyl}\colon \Omega\to \mathbb{A},\qquad \omega\mapsto \text{cyl}(\omega) $$
Definiamo, quindi: $$ \mathbb{A} = \{4,6,8\} $$ l’insieme della codifica dei possibili livelli della variabile qualitativa in esame. In questo caso possiamo parlare di livelli poiché ci troviamo davanti ad una variabile qualitativa ordinale: infatti possiamo ordinare il numero di cilindri come $$ \text{Levels: } 4 < 6 < 8 $$ (nel caso nominale l’insieme è identico ma l’ordine di codifica in \(\mathbb{A}\) è arbitrario).
Notazioni
Introduciamo ora le notazioni che utilizzeremo d’ora in avanti. Indicheremo con:
- \(n\), il numero di osservazioni totali contenute nel dataset in questione;
- \(n_i\), il numero di osservazioni per ogni codifica della variabile qualitativa presa in considerazione (frequenza assoluta);
- \(f_i=\frac{n_i}{n}\), il rapporto tra numero di osservazioni di una data codifica della variabile e il numero totale di osservazioni del dataset (frequenza relativa); essa può essere anche riportata in percentuale, semplicemente moltiplicandola per 100.
Distribuzione di una variabile qualitativa
Tornando alla variabile “cyl“, abbiamo che l’insieme dei livelli assunti da quest’ultima e le corrispondenti frequenze relative, quindi le coppie \((x_i,f_i)\) con \(x_i \in X\), vanno a costituire la distribuzione di tale variabile.
Le informazioni appena citate riguardanti una variabile qualitativa possono essere rappresentate tramite tabelle di contingenza e/o grafici a barre.
Tabelle di contingenza
Prendendo in considerazione la variabile “cyl” avremo le tabelle di contingenza così costruite:
| Livello (cyl) | \( i \) | \( n_i \) | \( f_i \) | \( f_i(\%) \) |
| 4 | 1 | 11 | 0.34375 | 34.375 |
| 6 | 2 | 7 | 0.21875 | 21.875 |
| 8 | 3 | 14 | 0.43750 | 43.750 |
| Totale | 32 | 1 | 100 | |
Abbiamo che i livelli sono ordinati in base al numero crescente di cilindri, per ognuno di essi vengono riportate la codifica \(i\), la frequenza assoluta \(n_i\), relativa \(f_i\) e percentuale \(f_i (\%)\).
Leggendo i dati riportati, si osserva che 11 macchine, pari al 34.375% delle auto presenti nel dataset, abbiano un motore con 4 cilindri, 4 macchine, pari al 21.875% circa, un motore con 6 cilindri e 14 macchine, pari al 43.75%, uno con 8 cilindri.
Grafici a barre (barplot)
Sulla base delle tabelle di contingenza, si possono costruire tre diverse rappresentazioni tramite grafici a barre: possono sembrare tutte e tre uguali (al più come forma), ma in realtà sono molto differenti tra di loro. La diversità sta proprio nella scala utilizzata per l’asse delle ordinate e cosa essa rappresenti: nella prima raffigurazione è un conteggio, nella seconda un indice compreso tra 0 e 1 e nell’ultima una percentuale da 0 a 100.
La scelta di quale rappresentazione utilizzare sta proprio a voi, in base a ciò che volete comunicare al pubblico che vi trovate davanti.
Di solito, si preferisce il grafico delle frequenze relative in percentuale perché più comprensibile, significativo e d’impatto: una percentuale rimane molto meglio impressa nella mente di una persona rispetto a un numero, essa contiene l’idea di quanto è quella quantità rispetto al totale (ad esempio se si parla del 25%, rapidamente si capisce che stiamo parlando di un quarto del totale), mentre un numero (il conteggio), senza conoscere il totale, è povero d’informazione.
Un esempio può essere l’odierna situazione del COVID-19. Quando sentiamo dire “Ci sono stati 20 mila nuovi contagi oggi in Italia da COVID-19”, ci sono due tipi principali di persone: quelle che si spaventano e quelle che si chiedono “In rapporto a quanti tamponi effettuati?”.
Le seconde sono proprio quelle che hanno azzeccato il punto: perché se fosse che i 20 mila nuovi positivi sono risultati dall’effettuazione di appena 40 mila tamponi, essi corrisponderebbero al 50% e ci sarebbe davvero da preoccuparsi; se, invece, i tamponi effettuati sono 200 mila, i nuovi positivi corrisponderebbero al 10%, un dato sicuramente meno allarmante.
Ciò non toglie che l’importanza delle frequenze assolute: esse risultano essere comunque fondamentali anche con la comunicazione di dati in percentuale al fine di capire la vera grandezza del campione in esame.
Con questo esempio si conclude l’articolo, preparandoci al prossimo: “Se volessi studiare due variabili qualitative contemporaneamente?”
Vedremo, ovvero, la distribuzione di due variabili qualitative.